Лекция 18

Дисперсия случайной величины и ее свойства

На практике часто требуется оценить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Использовать в качестве такой характеристики отклонение
случайной величины от ее математического ожидания не представляется возможным.

Теорема. Для любой случайной величины математическое ожидание ее отклонения равно нулю, т.е.

.

Доказательство. Действительно, учитывая, что – постоянная величина, имеем:


Такой характеристикой степени рассеяния случайной величины является дисперсия.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

.

Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т.е. является числовой характеристикой этой величины.

Если случайная величина имеет закон распределения
, то .

Так же как и для математического ожидания, свойства дисперсии можно сформулировать в виде теорем.

Теорема. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Доказательство. Если – постоянная величина, то и, следовательно, . Этот результат очевиден, поскольку постоянная величина изображается точкой на числовой оси и не имеет рассеяния.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат .

Доказательство. Если – постоянный множитель, а – случайная величина, то – тоже случайная величина, математическое ожидание которой . Применяя к случайной величине определение дисперсии, получаем:


.

Теорема. Дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания ее квадрата и квадрата математического ожидания самой величины: .

Доказательство. Используя основные теоремы о математическом ожидании можно записать:



Теорема. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Доказательство. Поскольку , следовательно:




,

где – так называемый корреляционный
момент величин и . Если случайные величины и независимы, то случайные величины и , очевидно, также независимы, поэтому:


Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Если – постоянная величина, то .

Следствие 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е. если случайные величины и независимы, то .

Доказательство.

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины являются ее основными числовыми характеристиками.

Английский язык является проблемой для многих студентов, 11 лет в школе часто не дают никакого результата. В тоже время знание английского может стать хорошим преимуществом для зарубежной стажировки или приеме на работу в иностранную компанию. Хотите знать английский лучше, чем остальные? Тогда Вам сюда курсы английского языка в москве Обучение по новым уникальным технологиям дает отличные результаты! Желаем успехов!