Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.

    Пусть в точке х = х1  и существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1    Если , то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если и минимум, если .

 Выпуклость и вогнутость кривой.

 Точки перегиба.

    Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.


    Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.     Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Асимптоты.

    При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

    Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

    Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

    Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

    

    Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

    Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

    Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

    Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.  Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = — ордината точки N на асимптоте.

По условию: , ÐNMP = j, .

Угол j — постоянный и не равный 900, тогда



Тогда .

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

 В полученном выражении выносим за скобки х:


Получаем , т.к. b = const, то .

Тогда , следовательно,

.

Т.к. , то , следовательно,

 

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:  

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

 Построим график функции:


 Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

 Найдем наклонные асимптоты:


y = 0 – горизонтальная асимптота.


Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

 Найдем наклонные асимптоты.

 

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

 
Объявление: сервис доставки цветов