Правила нахождения производных.

Вычисление предела отношения вида


при существенным образом связанно с установлением основных понятий в самых различных областях науки и техники. Поэтому в математическом анализе указанному пределу удается особое внимание и присваивается специальное наименование. Именно, предел это называется производной функции по независимой переменной x.

Определение производной:

    Производной функцией по независимой переменной x при данном значении x (в данной точке x) называется предел отношения приращения функции y к вызвавшему его приращению независимой переменной x при стремлении к 0.

    Для обозначения производной применяется символ или . Таким образом,


    Пользуясь только что введенным понятием производной, все результаты, установленные в предыдущем параграфе, можно сформулировать теперь следующим образом:

  1. скорость изменения функции при данном значении x если производная от функции y по x в данном точке;
  2. мгновенная скорость движения есть производная от пройденного пути s по времени t;
  3. угловая скорость вращения тела около оси есть производная от угла поворота тела относительно оси по времени t;
  4. скорость химической реакции есть производная от количества Q вещества, вступившего в реакцию, по времени t4
  5. теплоемкость тела есть производная от количества W тепла, поглощенного теплом, по температуре ;
  6. сила тока есть производная от количества Q протекшего электричества по времени t.

Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

    Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , когда точка M, перемещаясь вдоль по кривой, стремится к совпадению с .

    Если кривая задана уравнением , то для проведения касательной к ней в точке достаточно знать угловой коэффициент касательной.


Так как есть производная функции при значении , то заключаем, что угловой коэффициент касательной к кривой, заданной уравнением , в точкекривой равен значению производной функции при значении , т.е. Другими словами, угловой коэффициент касательной есть производная в точке от ординаты по абсциссе x.

Основные правила дифференцирования.

    Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.


3)

Производная сложной функции.

    Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.


    Тогда

    

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

    Тогда

Логарифмическое дифференцирование.

Рассмотрим функцию .

Тогда (ln(x))’= , т.к. .

    Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

     Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле


    Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Производная показательно- степенной функции.

    Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu


Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:  

Производная обратных функций.

    Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

    Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:



 

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

 Пример. Найти формулу для производной функции arctgх.

    Функция arctgх является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:


    Известно, что

По приведенной выше формуле получаем:


Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:


    Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

Объявление: мастоцитоз — узнать что это?