Возрастание и убывание функций.Экстремумы

    1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е.

    2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

    Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то на этом отрезке. Если в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

    Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Доказанную выше теорему можно проиллюстрировать геометрически: из рисунков видно, что при возрастании функции, график касательной имеет положительный угловой коэффициент, следовательно, производная возрастает. Для убывающей функции, обратно, угловой коэффициент касательной меньше нуля, соответственно, производная функции меньше нуля.




Точки экстремума.

    Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

    Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

   Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.     

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = |x|
Пример: f(x) =





В точке х = 0 функция имеет минимум, но в точке х = 0 функция не имеет ни производной максимума, ни минимума, ни производной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

  На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

  1. Найти критические точки функции.
  2. Найти значения функции в критических точках.
  3. Найти значения функции на концах отрезка.
  4. Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Объявление: http://ppt4web.ru