Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Для непрерывных случайных величин, так же, как и для дискретных, используют понятия математического ожидания и дисперсии.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла:

,

где – плотность вероятности.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется значение интеграла:

.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

.

Мода () непрерывной случайной величины – это такое ее значение, которому соответствует максимальное значение ее плотности вероятности.

Медианой () непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которое определяется равенством:

.

Основные свойства математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин остаются такими же, как и для дискретных случайных величин.

Начальные и центральные моменты для непрерывных случайных величин находятся по формулам:



Основные примеры распределений непрерывной случайной величины

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:


Математическое ожидание случайной величины, имеющей равномерное распределение:


Дисперсия может быть вычислена следующим образом:



Среднее квадратичное отклонение будет иметь вид:

.

Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) распределением непрерывной случайной величины называется такое распределение, которое описывается следующим выражением для плотности вероятности:

,

где – постоянная положительная величина.

Функция распределения вероятности в этом случае имеет вид:


Математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, получаем на основании общей формулы с учетом того, что при :

.

Интегрируя это выражение по частям, находим: .

Дисперсию для экспоненциального распределения можно получить, используя выражение:

.

Подставляя выражение для плотности вероятности, находим:


Вычисляя интеграл по частям, получаем: .

Не знаете, что подарить дорогому другу на День Рождения? Компьютерная акустика — это отличный подарок, который заценит любой современный человек!