Нормальное распределение

Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:


где      – среднее квадратичное отклонение;

     – математическое ожидание случайной величины.

Свойства функции Гаусса

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.

Проведем исследование функции:


методами дифференциального исчисления.

  1. Очевидно, что функция определена на всей оси .
  2. При всех значениях функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью .
  3. Ось служит горизонтальной асимптотой графика, поскольку . Других асимптот у графика нет.
  4. При функция имеет максимум, равный .
  5. Функция четная: ее график симметричен относительно прямой .
  6. При график функции имеет точки перегиба.

    Изменение величины математического ожидания, т.е. параметра , ведет к сдвигу кривой вдоль оси без изменения ее формы. График ведет себя иначе, если изменяется среднее квадратичное отклонение (параметр ): с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси . Но при любых значениях параметров и , согласно условию нормировки функции плотности распределения, площадь, ограниченная нормальной кривой и осью остается равной единице.

    Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал

    Во многих практических задачах требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках этого интервала:

    .

    В случае нормального распределения:


    сделаем замену переменной: , , .

    Тогда:

    ,

    где     ,     .

    Разобьем полученный интеграл на два:



    .

    Следовательно, искомая вероятность может быть выражена через веденный ранее стандартный интеграл Лапласа:

    .

Даже если Вам лишь 18 не проходите мимо! Уникальная информация о том, как как выйти замуж удачно!