Распределение c2

Пусть имеется n независимых случайных величин x1, x2, …, xn, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина распределена по закону, который называется «распределение c2» или «распределение Пирсона». Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные значения. Число n называется числом степеней свободы.


При n>1 график плотности распределения случайной величины c2 представляет собой кривую, изображенную на рисунке 1.

Для того, чтобы определить вероятность попадания случайной величины c2 в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения c2.

Таблица 1

q

n

0,99

0,975

0,95

0,1

0,05

0,01

1

0,0315

0,0398

0,0239

2,71

3,84

6,63

10

2,56

3,25

3,94

16,0

18,3

23,2

Обычно такая таблица позволяет по вероятности q и по числу степеней свободы n определить так называемый квантиль cq2, если q и cq2 связаны соотношением:

P(c2 > cq2) = q.

Эта формула означает вероятность того, что случайная величина c2 примет значение, большее, чем определенное значение cq2, равна q.

Таблица 1 представляет собой фрагмент таблицы распределения c2. Из него видно, что случайная величина c2 с 10-ю степенями свободы с вероятностью q=0,95 принимает значение, большее 3,94, а та же величина с одной степенью свободы с вероятностью q=0,975 превышает 0,00098.


Задача. Найти интервал (c12,
c22), в который случайная величина c2 с 10-ю степенями свободы попадает с вероятностью, равной 0,9.

Решение. График плотности распределения c2 с 10-ю степенями свободы схематично изображен на рисунке 2. Будем считать, что площади заштрихованных областей (правая область не ограничена справа) равны между собой. Примем условия:

P(c2 < c12) = P(c2 >
c22) = (1 — 0,9)/2 = 0,05,    (1)

тогда P(c12 < c2 < c22) = 0,9.

Равенства (1) сразу позволяют по таблице определить: c22 = 18,3. Для определения левой границы интересующего нас интервала придется воспользоваться очевидным равенством P(c2>c12)=0,95. Из таблицы 1. определяем: c12=3,94 , и теперь можно сформулировать ответ задачи: значение случайной величины c2 с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу (3,94; 18,3).