Уравнения Колмогорова. Продолжение

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим следующий пример. Имеется размеченный граф состояний системы (рис.2). Необходимо составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и записать начальные условия для решения этой системы, если известно, что в начальный момент система находилась в состоянии .


Решение. Согласно приведенному выше мнемоническому правилу, система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:


Начальные условия при : .

При функции стремятся к предельным (финальным) вероятностям состояний системы. Поскольку финальные вероятности не зависят от времени, в системе дифференциальных уравнений Колмогорова все левые части принимаем равными нулю. При этом система дифференциальных уравнений превратится в систему линейных алгебраических уравнений вида:


Решая ее с учетом условия , получим все предельные вероятности. Эти вероятности представляют собой среднее относительное время пребывания системы в каждом из состояний.

Финальные состояния марковской системы с непрерывным временем существуют при следующих условиях:

  • плотности вероятности всех переходов не должны зависеть от времени ;
из любого состояния системы возможен переход в любое другое состояние за конечное число шагов.

 

Например, для системы, изображенной на рис. 3, финальные вероятности не существуют.

В заключение рассмотрим одну из наиболее простых и часто встречающихся на практике разновидностей дискретных марковских цепей с непрерывным временем – так называемую схему гибели и размножения.

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

Схема гибели и размножения

Марковский процесс с дискретными состояниями называется процессом гибели и размножения, если все состояния можно вытянуть в цепочку, в которой каждое из промежуточных состояний может переходить только в соседние состояния, а крайние состояния переходят лишь в состояния и соответственно. Граф состояний такой системы приведен на рис.4.


 

 

 

 

 

 

Название схемы взято из биологических задач, где состояние популяции означает наличие в ней особей.

На рис.4 переход вправо соответствует увеличению популяции, влево – ее уменьшению. Таким образом, можно определить как интенсивности размножения, а – как интенсивности гибели. Используется следующее соглашение: буквам и приписывается индекс того состояния, из которого выходит стрелка.

Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным временем называется такой случайный процесс, исследуемый параметр которого может принимать только целые неотрицательные значения. Изменения рассматриваемого параметра могут происходить в любой момент времени, т.е. в любой момент времени он может либо увеличиться, либо уменьшиться на единицу.
Английский язык сейчас необходим буквально всем. Возможно, Вы собираетесь стажироваться в иностранной компании или отправляетесь на учебу в магистратуру заграницу. Чтобы подтянуть Ваш английский советуем обращаться сюда —индивидуальное обучение английскому для каждого из Вас