Распределение Стьюдента
Если Вы изучаете английский язык, и не можете найти и скачать бесплатно прекрасное учебное пособие , то Вы наконец-то его нашли! Скачивайте и занимайтесь! New opportunities beginner — поможет Вам выучить язык!
Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида 
, где x и h – независимые случайные величины, причем x – нормально распределенная случайная величина с параметрами Mx = 0 и Dx = 1, а h распределена по закону c2 c k степенями свободы.
Закон распределения случайной величины t называется законом распределения Стьюдента с k степенями свободы.
График плотности распределения для закона Стьюдента схематически изображен на рисунке 3. Кривая плотности распределения схожа с аналогичной кривой для нормального распределения.
Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы k по вероятности q определить значение tq, для которого выполняется соотношение P(|t| > tq)=q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2.
Таблица 2
|
q k |
0,1 |
0,05 |
… |
0,01 |
0,005 |
… |
|
1 |
6,314 |
12,71 |
… |
63,57 |
318 |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
12 |
1,782 |
2,179 |
… |
3,055 |
3,428 |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает вероятностью 0,9.
Решение. Очевидны соотношения:
P(–x < t < x) = P(|t| < x) = 1 – P(|t|
³
x) = 0,9.
Из последнего равенства следует:
P(|t|
³
x) = 0,1, (n = 12).
Определяем из таблицы: x=1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет конкретное значение, равна нулю.
Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995 , где t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы.
Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная величина примет значение из области справа от точки x1 равна 0,995 , следовательно, в область левее этой точки случайная величина попадает с вероятностью 0,005. Чтобы найти x1, рассмотрим две симметричные области, изображенные на рисунке 5. Допустим, что в каждой из этих областей значение случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: x1= –x, x2=x, причем x определяется из условия P(|t|>x)=0,01. Из таблицы 2 находим: x=3,055. Теперь можно выписать ответ задачи:
P(t > –3,055) = 0,995.
