Лекция 11.

Выбор без возвращения, без учета порядка

Сочетаниями из элементов по () называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из без возвращения и без учета порядка называется числом сочетаний из элементов по и определяется формулой:

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .

Делая в каждом из них возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из элементов по :

Числа еще называются биномиальными коэффициентами, т.к. они являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Свойства числа сочетаний :

Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения , свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона, полагая для свойства 3 что и , а для свойства 4 что и . Свойство 5 можно проверить следующим образом:

Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты с помощью так называемого треугольника Паскаля:

Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.

Выбор с возвращением и с учетом порядка

Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и с учетом порядка определяется формулой .

Действительно, первый элемент из совокупности элементов можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента , второй элемент можно выбрать также способами, и так раз.

Выбор с возвращением и без учета порядка

Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из с возвращением и без учета порядка определяется формулой

Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора.

Нам не важен порядок номеров, то есть мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из элементов появился элемент , элемент , …, элемент . То есть результат выбора можно представить набором чисел в котором – число появлений элемента в выборке, и . Числа принимают значения 0, 1, 2, 3, … . Два результата эксперимента различны, если соответствующие им наборы не совпадают (при этом учитывается и порядок элементов).

Урновая схема

Классическая схема, несмотря на свою ограниченность, пригодна для решения ряда сугубо практических задач, общую схему которых можно охарактеризовать следующим образом: рассмотрим множество элементов, состоящее из двух непересекающихся подмножеств из и элементов. Например, множество шаров, из которых – белые, а – черные. Эти шары находятся в урне, из которой извлекается шаров. Требуется найти вероятность того, что сред этих шаров окажется белых, причем отношение будет близко к , т.е. достоверно ли представление о генеральной совокупности, полученное по выборке. В самом деле, в описанной ситуации каждая выборка не имеет предпочтения по отношению к любой другой, т.е. все они равновозможны.

Обозначим через событие «в выборке объема имеется белых шаров». Число всех возможных выборок объема из множества элементов равно числу сочетаний . Выясним число элементарных исходов благоприятствующих событию : из белых шаров можно выбрать штук способами, а из черных шаров можно выбрать штук способами. Таким образом, число элементарных исходов благоприятствующих событию равно . Следовательно, вероятность того, что сред этих шаров окажется белых, причем отношение будет близко к , равна: