Лекция 11.
Выбор без возвращения, без учета порядка
Сочетаниями
из
элементов по
(
) называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно
данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.
Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора элементов из
без возвращения и без учета порядка называется числом сочетаний
из
элементов по
и определяется формулой:
.
Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .
Делая в каждом из них возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из
элементов по
:
.
Числа еще называются биномиальными коэффициентами, т.к. они являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:
.
Свойства числа сочетаний :
-
-
-
-
-
Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения
, свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона, полагая для свойства 3 что
и
, а для свойства 4 что
и
. Свойство 5 можно проверить следующим образом:
Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты
с помощью так называемого треугольника Паскаля:
Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.
Выбор с возвращением и с учетом порядка
Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора
элементов из
с возвращением и с учетом порядка определяется формулой
.
Действительно, первый элемент
из совокупности
элементов можно выбрать
различными способами. После выбора первого элемента
, второй элемент
можно выбрать также
способами, и так
раз.
Выбор с возвращением и без учета порядка
Теорема. Общее количество выборок в схеме выбора
элементов из
с возвращением и без учета порядка определяется формулой
Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора.
Нам не важен порядок номеров, то есть мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из
элементов появился элемент
, элемент
, …, элемент
. То есть результат выбора можно представить набором чисел
в котором
– число появлений элемента
в выборке, и
. Числа
принимают значения 0, 1, 2, 3, … . Два результата эксперимента различны, если соответствующие им наборы
не совпадают (при этом учитывается и порядок элементов).
Урновая схема
Классическая схема, несмотря на свою ограниченность, пригодна для решения ряда сугубо практических задач, общую схему которых можно охарактеризовать следующим образом: рассмотрим множество
элементов, состоящее из двух непересекающихся подмножеств из
и
элементов. Например, множество
шаров, из которых
– белые, а
– черные. Эти шары находятся в урне, из которой извлекается
шаров. Требуется найти вероятность того, что сред этих
шаров окажется
белых, причем отношение
будет близко к
, т.е. достоверно ли представление о генеральной совокупности, полученное по выборке. В самом деле, в описанной ситуации каждая выборка не имеет предпочтения по отношению к любой другой, т.е. все они равновозможны.
Обозначим через
событие «в выборке объема
имеется
белых шаров». Число всех возможных выборок объема
из множества
элементов равно числу сочетаний
. Выясним число элементарных исходов благоприятствующих событию
: из
белых шаров можно выбрать
штук
способами, а из
черных шаров можно выбрать
штук
способами. Таким образом, число элементарных исходов благоприятствующих событию
равно
. Следовательно, вероятность того, что сред этих
шаров окажется
белых, причем отношение
будет близко к
, равна:
.
Все объявления смотрите здесь: