Правила нахождения производных.

Вычисление предела отношения вида

при существенным образом связанно с установлением основных понятий в самых различных областях науки и техники. Поэтому в математическом анализе указанному пределу удается особое внимание и присваивается специальное наименование. Именно, предел это называется производной функции по независимой переменной x.

Определение производной:

Производной функцией по независимой переменной x при данном значении x (в данной точке x) называется предел отношения приращения функции y к вызвавшему его приращению независимой переменной x при стремлении к 0.

Для обозначения производной применяется символ или . Таким образом,

Пользуясь только что введенным понятием производной, все результаты, установленные в предыдущем параграфе, можно сформулировать теперь следующим образом:

скорость изменения функции при данном значении x если производная от функции y по x в данном точке;
мгновенная скорость движения есть производная от пройденного пути s по времени t;
угловая скорость вращения тела около оси есть производная от угла поворота тела относительно оси по времени t;
скорость химической реакции есть производная от количества Q вещества, вступившего в реакцию, по времени t4
теплоемкость тела есть производная от количества W тепла, поглощенного теплом, по температуре ;
сила тока есть производная от количества Q протекшего электричества по времени t.

Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , когда точка M, перемещаясь вдоль по кривой, стремится к совпадению с .

Если кривая задана уравнением , то для проведения касательной к ней в точке достаточно знать угловой коэффициент касательной.

Так как есть производная функции при значении , то заключаем, что угловой коэффициент касательной к кривой, заданной уравнением , в точкекривой равен значению производной функции при значении , т.е. Другими словами, угловой коэффициент касательной есть производная в точке от ординаты по абсциссе x.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

Производная сложной функции.

Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда

Логарифмическое дифференцирование.

Рассмотрим функцию .

Тогда (ln(x))’= , т.к. .

Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Производная показательно- степенной функции.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu

Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

Производная обратных функций.

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х: