Видеолекции по математике читает д.ф.м.н. профессор СЗТУ Потапенко Александр Алексеевич
1. Системы линейных уравнений 2-го порядка
-
примеры систем, имеющих единственное решение, не имеющих решения и с бесконечным множеством решений;
-
совместные, определенные и эквивалентные системы;
-
матрица системы двух линейных уравнений;
-
определитель второго порядка;
-
главная и побочная диагональ определителя.
2. Матрицы и определители 3-го порядка
- системы двух линейных уравнений (продолжение);
- миноры и алгебраические дополнения;
- вычисление определителя 3-го порядка.
3. Матрицы и определители высших порядков
- миноры и алгебраические дополнения;
- транспонированная матрица;
- свойства определителя n-го порядка;
- решение систем трех линейных уравнений;
- формулы Крамера;
- прямоугольные матрицы;
- однострочные и одностолбцовые матрицы;
- нулевая, единичная и диагональная матрицы;
- сложение и умножение матриц.
4. Векторная алгебра
- обратная матрица и матричный метод решения систем линейных уравнений (окончание);
- определение вектора, длина вектора, свободные вектора;
- коллениарные и компланарные вектора;
- правая и левая тройка векторов;
- проекция вектора и сложение векторов;
- базис на плоскости и в пространстве;
- координаты векторов в данном базисе.
5. Операции над векторами
- координаты суммы и разности векторов;
- произведение вектора на число;
- скалярное произведение векторов и его свойства;
- векторное произведение и его свойства.
6.Векторное и смешанное произведение векторов
- вычисление векторного произведения через координаты векторов;
- вычисление площади треугольника;
- определение и свойства смешанного произведения векторов;
- объем параллелепипеда и треугольной пирамиды.
7. Уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве
- общее уравнение прямой на плоскости;
- общее уравнение плоскости в пространстве;
- нормальный вектор плоскости;
- общее уравнение прямой в пространстве;
- уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом;
- уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении;
- каноническое уравнение прямой на плоскости;
- параметрическое уравнение прямой;
- уравнение прямой проходящей через две данные точки;
- уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору;
- уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам;
- уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- векторно-параметрическое уравнение;
- каноническое уравнение;
- уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- уравнение эллипса и его свойства;
- полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса;
- уравнение гиперболы и ее свойства;
- вершины, асимптоты, эксцентриситет и фокусы гиперболы.
- уравнение параболы и ее свойства;
- фокус, директриса, эксцентриситет параболы;
- определение и уравнение эллипсоида;
- полуоси и вершины эллипсоида;
- чертеж эллипсоида;
- сфера — частный случай эллипсоида;
- уравнение однополостного гиперболоида;
- чертеж однополостного гиперболоида;
- уравнение двухполостного гиперболоида;
- чертеж двухполостного гиперболоида;
- уравнение конуса второго порядка;
- чертеж конуса второго порядка;
- уравнение эллиптического параболоида;
- чертеж эллиптического параболоида;
- уравнение гиперболического параболоида;
- чертеж гиперболического параболоида.
10. Функция и предел функции
- эпсилон окрестность точки;
- левая и правая зпсилон окрестность точки;
- понятие функции;
- область определения функции;
- сложная функция;
- числовая последовательность;
- предел числовой последовательности;
- предел функции;
- левосторонний и правосторонний пределы функции;
- бесконечно малая и бесконечно большая функция;
- свойства пределов функции;
- непрерывность функции;
- свойства непрерывных функций;
- примеры вычисления пределов.
11.Точки разрыва функции
- эквивалентные бесконечно малые величины;
- примеры вычисления пределов с помощью бесконечно малых величин;
- точки разрыва функции;
- устранимые и неустранимые точки разрыва;
- точки разрыва I и II рода;
- пример исследования функции на наличие точек разрыва;
- определение производной.
12. Производная функции
- геометрический смысл производной;
- уравнение касательной к плоской кривой;
- правила дифференцирования;
- таблица производных;
- примеры вычисления производных;
- дифференциал функции;
- производные высшего порядка;
- производная функций, заданных параметрически.
13. Первообразная и неопределенный интеграл
- определение первообразной;
- определение неопределенного интеграла;
- равенство с точностью до произвольной постоянной;
- теорема существования неопределенного интеграла;
- свойства неопределенного интеграла.
14.Таблица основных интегралов
15. Непосредственное интегрирование
- непосредственное интегрирование;
- примеры вычисления интегралов:
- интегрирование тригонометрических выражений.
16. Метод замены переменной при вычислении неопределенного интеграла
-
примеры на замену переменной;
-
вычисление интегралов от тригонометрических выражений.
17. Интегрирование по частям
-
вывод формулы интегрирования по частям:
-
интегралы, вычисляемые методом интегрирования по частям:
-
решение примеров на интегрирование по частям.
18. Комплексные числа (часть 1)
-
определение комплексных чисел;
-
геометрическая интерпритация комплексных чисел;
-
вещественная и мнимая часть комплексного числа;
-
сопряженные комплексные числа;
-
тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
19. Комплексные числа (часть 2)
-
формула произведения комплексных чисел;
-
формула частного двух комплексных чисел;
-
формула возведения в степень комплексного числа (формула Муавра);
-
формула извлечения корня из комплексного числа;
-
примеры.
20. Рациональные функции
-
представление дроби в виде суммы простейших дробей;
-
метод неопределенных коэффициентов;
-
примеры.
21. Интегрирование рациональных функций
-
представление неправильной рациональной дроби через правильную;
-
сведение интегрирования рациональной дроби к интегрированию простейших дробей.
22. Интегрирование рациональных выражений от тригонометрических функций
-
универсальная тригонометрическая подстановка t = tg(x/2);
-
примеры.
23. Понятие определенного интеграла
-
нахождение площади криволинейной трапеции;
-
интегральная сумма (сумма Римана);
-
подинтегральная функция и подинтегральное выражение;
-
верхний и нужний пределы интегрирования;
-
кусочно-непрерывная функция;
-
теорема о существовании определенного интеграла.
24. Основные свойства определенного интеграла
-
интеграл от функции умноженной на константу;
-
интеграл от суммы функций;
-
свойство аддитивности определенного интеграла;
-
теорема о среднем;
-
независимость определенного интеграла от обозначения независимой переменной.
25.Формула Ньютона-Лейбница
-
теорема Барроу;
-
следствие теоремы Барроу;
-
основная теорема интегрального исчисления;
-
примеры вычисления определенных интегралов.
26. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
-
сходящиеся и расходящися интегралы;
-
условно-сходящиеся интегралы;
-
признаки сходимости несобственных интегралов.
27. Несобственные интегралы от неограниченной функции
-
определение несобственного интеграла от неограниченной функции с разрывом на конце интервала интегрирования;
-
определение несобственного интеграла от неограниченной функции с разрывом внутри интервала интегрирования;
-
геометрическая иллюстрация несобственного интеграла.
28. Вычисление площади плоских фигур в прямоугольных координатах
-
вычисление площади подграфика;
-
решение примеров.
29. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах
-
криволинейный сектор;
-
площадь криволинейного сектора;
-
пример вычисления площади криволинейного сектора.
30. Вычисление объема тела вращения
-
площадь сечения тела вращения;
-
формула объема тела вращения;
-
примеры вычисления объема тел вращения.
31. Вычисление длины дуги кривой
-
формула дифференциала дуги плоской кривой;
-
формула длины дуги плоской кривой;
-
длина дуги пространственной кривой;
-
пример вычисления длины дуги винтовой линии;
-
вычисление длины дуги в полярных координатах.
