Лекция 6

Аксиоматическое построение теории вероятностей

Наиболее распространенной в настоящее время является логическая схема построения основ теории вероятностей, которая была разработана А.Н.Колмогоровым в 1933 году.

Основные черты этой схемы следующие.

При изучении какой-либо задачи методами теории вероятностей, прежде всего, выделяется множество , называемое пространством элементарных исходов. Элементы этого множества составляют совокупность возможных исходов наблюдения – элементарных событий. Всякое случайное событие описывается совокупностью благоприятствующих ему элементарных исходов и, поэтому, рассматривается как множество элементарных событий. Некоторые из этих случайных событий образуют борелево множество наблюдаемых событий , каждому из которых сопоставлено некоторое определенное число , т.е. на задана функция множеств.

Поскольку каждое наблюдение должно иметь, по крайней мере, хотя бы один исход, все пространство элементарных событий соответствует достоверному событию, а пустое множество – невозможному событию. С событиями из s–алгебры связываются определенные числа , называемые их вероятностями и удовлетворяющие следующему определению.

Вероятностью называется функция множеств, заданная на s–алгебре пространства элементарных исходов и удовлетворяющая следующим условиям:

  1. ;
  2. , т.е. вероятность достоверного события равна единице;
  3. Вероятность события , заключающееся в том, что наступит одно из попарно несовместных событий (), составляет

    .

    Эти условия должны выполняться и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий, т.е. должны выполняться также и условия в определении s–алгебры . Таким образом, из условия 3 следует:

    .

    Эти условия составляют аксиомы теории вероятностей.

    Вся теория вероятностей строится на этих трех аксиомах. Исходные аксиомы постулируются и попытка доказать их лишена смысла. Единственным возможным критерием справедливости этих аксиом является степень, с которой теория, построенная на их основе, отражает реальность. Этот критерий, кстати, справедлив и для любой другой естественнонаучной теории.

    Итак, определенная теоретико–вероятностная схема задается тремя компонентами , т.е.:

  • конкретным пространством элементарных исходов , выступающим в роли базиса, в котором описываются все наблюдаемые события;
  • конкретным набором подмножеств пространства элементарных исходов , образующим s–алгебру и являющимся областью определения функции вероятности ;
  • конкретным заданием вероятностей на всех множествах s–алгебры .

    Набор этих трех компонент , удовлетворяющий аксиомам теории вероятностей, называется вероятностным пространством или вероятностной схемой.

    Полная группа событий

    Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество. Другими словами, для полной группы событий выполнены следующие условия:

  • появление одного из событий данного множества в результате испытания является достоверным событием, т.е. событие ;
  • события и () попарно несовместимы и
    – событие невозможное при любых , т.е. .

    Простейшим примером полной группы событий является пара противоположных событий и .

    Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:

    .

Если Вам надо купить квартиру в Моршанске обращайтесь