Раскрытие неопределённостей вида ,

Определение («на языке последовательностей», или по Гейне)

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0 (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, , сходящейся к х0 (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(xn), сходится к числу А (т.е. ).

Определение (на «языке ε-δ», или по Коши»)

Число А называется пределом функции y=f(x)  в точке х0 (или при , т.е. ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Основные теоремы о пределах

Теорема 1.
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Следствие. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:


Теоремы 1 и 2 справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:


Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:


Следствие.

Теорема. Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, ()

При нахождении пределов применяют соотношения:

, (k=const);        ;

;        ;

;        

;    

(28).

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем (х0), при этом:

  • если данное выражение имеет смысл, то предел равен этому выражению;
  • если в результате вычислений нет неопределённостей, воспользуемся одним из соотношений (28).

№9. Найти пределы: 1) ; 2) ;
3) .

1) Применяя теоремы о пределах, получаем:

==

=;

2) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: =;

3) Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю (в знаменателе есть бесконечно малая величина при ). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины , отличной от нуля, на бесконечно большую величину при как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому . ◄

Постановка задачи. Найти , где или .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем(х0), если в результате вычислений получилась неопределённость или , следует применить соответствующие правила для раскрытия данных неопределённостей.

Неопределённость вида

  • Для того чтобы разрешить неопределённость вида, до вычисления предела средствами алгебры в числителе и знаменателе выделяем множитель и сокращаем на него, т.к. .
  • Чтобы раскрыть неопределённость, в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.

Неопределённость вида

  • Если числитель и знаменатель, сложные степенные функции: необходимо вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби неизвестное с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

Частный случай: предел рационального выражения вида

при будем рассматривать как предел частного двух многочленов, который равен:


  • Если числитель и знаменатель, сложные показательные функции: за скобку вынести наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

№10. Найти пределы: 1) ;2) ; 3) .

► 1) =, для раскрытия данной неопределенности средствами алгебры разложим числитель и знаменатель на множители:

,

сократим множитель (х – 3) имеем:

=;

2) .

Данное предельное выражение содержит иррациональность в числителе, следовательно, домножим дробь на сопряженное выражение, т.е. на , тогда:

.

В числителе последнего выражения получилась формула — разность квадратов, таким образом:

;

3) ,

для раскрытия данной неопределенности сделаем замену:


тогда исходное пределное выражение имеетвид:

,

которое раскрывается по известным правилам, т.е.:

==. ◄

№11. Найти пределы: 1) ; 2) ;3) ; 4) .

1) ,

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х2, тогда:

=;

2) ,

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х3, тогда:

;

3) ,

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n4, тогда:

==;

4) =,

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n, тогда:

==0. ◄

№12. Найти пределы: 1) ;
2) ; 3) .

Данные предельные соотношения можно рссмотреть, как частное двух многочленов, т.е:

1) ==2;

2) ;

3) .◄

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем(х0), если в результате вычислений получилась одна из неопределённостей , или др., то данные неопределённости раскрываются путём преобразования и сведения их к неопределённости или.

№13. Найти пределы: 1) ; 2) .

1) ,

данное предельное выражение преобразум таким образом:

=;

2) Рассмотрим два случая:

а) . Перенеся иррациональность из числителя в знаменатель, получим:

===0;

б) .

Объявление: квартиры в Ингушетии