Видеолекции по математике читает д.ф.м.н. профессор СЗТУ Потапенко Александр Алексеевич

1. Системы линейных уравнений 2-го порядка

  • примеры систем, имеющих единственное решение, не имеющих решения и с бесконечным множеством решений;
  • совместные, определенные и эквивалентные системы;
  • матрица системы двух линейных уравнений;
  • определитель второго порядка;
  • главная и побочная диагональ определителя.

2. Матрицы и определители 3-го порядка

  • системы двух линейных уравнений (продолжение);
  • миноры и алгебраические дополнения;
  • вычисление определителя 3-го порядка.

3. Матрицы и определители высших порядков

  • миноры и алгебраические дополнения;
  • транспонированная матрица;
  • свойства определителя n-го порядка;
  • решение систем трех линейных уравнений;
  • формулы Крамера;
  • прямоугольные матрицы;
  • однострочные и одностолбцовые матрицы;
  • нулевая, единичная и диагональная матрицы;
  • сложение и умножение матриц.

4. Векторная алгебра

  • обратная матрица и матричный метод решения систем линейных уравнений (окончание);
  • определение вектора, длина вектора, свободные вектора;
  • коллениарные и компланарные вектора;
  • правая и левая тройка векторов;
  • проекция вектора и сложение векторов;
  • базис на плоскости и в пространстве;
  • координаты векторов в данном базисе.

5. Операции над векторами

  • координаты суммы и разности векторов;
  • произведение вектора на число;
  • скалярное произведение векторов и его свойства;
  • векторное произведение и его свойства.

6.Векторное и смешанное произведение векторов

  • вычисление векторного произведения через координаты векторов;
  • вычисление площади треугольника;
  • определение и свойства смешанного произведения векторов;
  • объем параллелепипеда и треугольной пирамиды.

7. Уравнения прямой на плоскости и плоскости в пространстве

  • общее уравнение прямой на плоскости;
  • общее уравнение плоскости в пространстве;
  • нормальный вектор плоскости;
  • общее уравнение прямой в пространстве;
  • уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом;
  • уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении;
  • каноническое уравнение прямой на плоскости;
  • параметрическое уравнение прямой;
  • уравнение прямой проходящей через две данные точки;
  • уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору;
  • уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам;
  • уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
  • векторно-параметрическое уравнение;
  • каноническое уравнение;
  • уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
  • уравнение эллипса и его свойства;
  • полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса;
  • уравнение гиперболы и ее свойства;
  • вершины, асимптоты, эксцентриситет и фокусы гиперболы.
  • уравнение параболы и ее свойства;
  • фокус, директриса, эксцентриситет параболы;
  • определение и уравнение эллипсоида;
  • полуоси и вершины эллипсоида;
  • чертеж эллипсоида;
  • сфера — частный случай эллипсоида;
  • уравнение однополостного гиперболоида;
  • чертеж однополостного гиперболоида;
  • уравнение двухполостного гиперболоида;
  • чертеж двухполостного гиперболоида;
  • уравнение конуса второго порядка;
  • чертеж конуса второго порядка;
  • уравнение эллиптического параболоида;
  • чертеж эллиптического параболоида;
  • уравнение гиперболического параболоида;
  • чертеж гиперболического параболоида.

10. Функция и предел функции

  • эпсилон окрестность точки;
  • левая и правая зпсилон окрестность точки;
  • понятие функции;
  • область определения функции;
  • сложная функция;
  • числовая последовательность;
  • предел числовой последовательности;
  • предел функции;
  • левосторонний и правосторонний пределы функции;
  • бесконечно малая и бесконечно большая функция;
  • свойства пределов функции;
  • непрерывность функции;
  • свойства непрерывных функций;
  • примеры вычисления пределов.

11.Точки разрыва функции

  • эквивалентные бесконечно малые величины;
  • примеры вычисления пределов с помощью бесконечно малых величин;
  • точки разрыва функции;
  • устранимые и неустранимые точки разрыва;
  • точки разрыва I и II рода;
  • пример исследования функции на наличие точек разрыва;
  • определение производной.

12. Производная функции

  • геометрический смысл производной;
  • уравнение касательной к плоской кривой;
  • правила дифференцирования;
  • таблица производных;
  • примеры вычисления производных;
  • дифференциал функции;
  • производные высшего порядка;
  • производная функций, заданных параметрически.

13. Первообразная и неопределенный интеграл

  • определение первообразной;
  • определение неопределенного интеграла;
  • равенство с точностью до произвольной постоянной;
  • теорема существования неопределенного интеграла;
  • свойства неопределенного интеграла.

14.Таблица основных интегралов

15. Непосредственное интегрирование

  • непосредственное интегрирование;
  • примеры вычисления интегралов:
  • интегрирование тригонометрических выражений.

16. Метод замены переменной при вычислении неопределенного интеграла

  • примеры на замену переменной;
  • вычисление интегралов от тригонометрических выражений.

17. Интегрирование по частям

  • вывод формулы интегрирования по частям:
  • интегралы, вычисляемые методом интегрирования по частям:
  • решение примеров на интегрирование по частям.

18. Комплексные числа (часть 1)

  • определение комплексных чисел;
  • геометрическая интерпритация комплексных чисел;
  • вещественная и мнимая часть комплексного числа;
  • сопряженные комплексные числа;
  • тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

19. Комплексные числа (часть 2)

  • формула произведения комплексных чисел;
  • формула частного двух комплексных чисел;
  • формула возведения в степень комплексного числа (формула Муавра);
  • формула извлечения корня из комплексного числа;
  • примеры.

20. Рациональные функции

  • представление дроби в виде суммы простейших дробей;
  • метод неопределенных коэффициентов;
  • примеры.

21. Интегрирование рациональных функций

  • представление неправильной рациональной дроби через правильную;
  • сведение интегрирования рациональной дроби к интегрированию простейших дробей.

22. Интегрирование рациональных выражений от тригонометрических функций

  • универсальная тригонометрическая подстановка t = tg(x/2);
  • примеры.

23. Понятие определенного интеграла

  • нахождение площади криволинейной трапеции;
  • интегральная сумма (сумма Римана);
  • подинтегральная функция и подинтегральное выражение;
  • верхний и нужний пределы интегрирования;
  • кусочно-непрерывная функция;
  • теорема о существовании определенного интеграла.

24. Основные свойства определенного интеграла

  • интеграл от функции умноженной на константу;
  • интеграл от суммы функций;
  • свойство аддитивности определенного интеграла;
  • теорема о среднем;
  • независимость определенного интеграла от обозначения независимой переменной.

25.Формула Ньютона-Лейбница

  • теорема Барроу;
  • следствие теоремы Барроу;
  • основная теорема интегрального исчисления;
  • примеры вычисления определенных интегралов.

26. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

  • сходящиеся и расходящися интегралы;
  • условно-сходящиеся интегралы;
  • признаки сходимости несобственных интегралов.

27. Несобственные интегралы от неограниченной функции

  • определение несобственного интеграла от неограниченной функции с разрывом на конце интервала интегрирования;
  • определение несобственного интеграла от неограниченной функции с разрывом внутри интервала интегрирования;
  • геометрическая иллюстрация несобственного интеграла.

28. Вычисление площади плоских фигур в прямоугольных координатах

  • вычисление площади подграфика;
  • решение примеров.

29. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах

  • криволинейный сектор;
  • площадь криволинейного сектора;
  • пример вычисления площади криволинейного сектора.

30. Вычисление объема тела вращения

  • площадь сечения тела вращения;
  • формула объема тела вращения;
  • примеры вычисления объема тел вращения.

31. Вычисление длины дуги кривой

  • формула дифференциала дуги плоской кривой;
  • формула длины дуги плоской кривой;
  • длина дуги пространственной кривой;
  • пример вычисления длины дуги винтовой линии;
  • вычисление длины дуги в полярных координатах.

32.Площадь поверхности тела вращения