Лекция №8. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Функция – четная, поэтому можно ограничиться только положительными значениями и т. к. , то можно ограничиться значениями в первой четверти, т. е. .

Рассмотрим площади трех фигур:     .

– радианная мера угла.

Т. к. фигуры вложены друг в друга, то их площади связаны неравенством:

Из неравенства (2) вытекает, что при ,как меньшая величина, тоже стремиться к нулю. Из формулы (*) следует, что при .По теореме о сжатой переменной и по формуле (3) заключаем, что при .    .

Примеры решения пределов с помощью первого замечательного предела:

Второй замечательный предел.

Переменная называется возрастающей в узком смысле (строго возрастает), если при следует .

Переменная называется строго убывающей, если при следует .

Переменная называется возрастающей в широком смысле, иначе не убывающей, если при следует .

Переменная называется возрастающей в широком смысле, иначе не убывающей, если при следует .

Все перечисленные переменные называются монотонными переменными. Они могут быть строго монотонными и не строго монотонными.

ТЕОРЕМА: Если переменная возрастает в узком или широком смысле и ограничена с верху (означает, что её значения ограничены с верху), то она имеет конечный предел. Если переменная убывает в узком или широком смысле и ограничена снизу (её значения ограничены снизу), то она имеет конечный предел.

Можно доказать, что переменная строго возрастает и ограничена сверху числом 3. По теореме о существовании предела и ограниченной монотонной переменной можно утверждать, что рассматриваемая переменная имеет предел:

В дальнейшем будет выведена формула, позволяющая вычислить этот предел с любой степенью точности

Число лежит в основании так называемых натуральных логарифмов.

     – модуль перехода.

С числом связано несколько функций, рассмотренных в математике.

Гиперболические функции:

1.     – синус гиперболический.

2.     – косинус гиперболический.

3.     – тангенс гиперболический.

4.     – котангенс гиперболический.

Свойства гиперболических функций функций:

– нечетные функции,

– четная функция.

– имеют горизонтальные асимптоты на «+» и на « – » бесконечности.

– имеет вертикальную асимптоту.

Формулы гиперболической тригонометрии.

Для гиперболической функции существует система формул, составляющих так называемую гиперболическую тригонометрию.

Основное гиперболическое тождество:

Доказательство:

и.т.д.

Распространение формулы (7) для второго замечательного предела на любое значение аргумента. Способ стремления аргумента к бесконечности.

Доказательство:

Для любого значения найдется такое натуральное ,что будет выполняться неравенство:

Будем пользоваться свойствами степенной и показательной функции.

Примем теорему о сжатой переменной…ч.т.д.

Доказательство:

Ч.Т.Д.

Формулы (11) и (12) записываются в виде однообразной формулы.

Объявление: