Лекция 8

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Свойства условных вероятностей

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и ) равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство: События и независимы, следовательно . В этом случае формула произведения событий и
можно записать как .

События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие равное произведению любого числа остальных событий, независимы.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

.

Простейшие свойства вероятностей

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. ;

    Свойства условных вероятностей

  6. ;
  7. ;
  8. ;
  9. если , то ;
  10. ;
  11. ;
  12. ;

    .

    Формула полной вероятности. Формула Байеса

    Предположим, что событие может произойти только с одним из несовместных событий . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события – это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

    В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий .

    По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим:

    .

    Полученная формула называется формулой полной вероятности.

    Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых () известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем известно, что это событие имело определенные условные вероятности (). Требуется найти вероятности событий , если известно, что событие произошло (вероятности апостериори).

    Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события . Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, нужно переоценить вероятности событий .

    На основании теоремы о вероятности произведения двух событий:

    ,

    откуда:


    или

    .

    Полученная формула носит название формулы Байеса.

Смотритеобъявления в Вязниках здесь!