Лекция 8

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Свойства условных вероятностей

Если при наступлении события вероятность события не меняется, то события и называются независимыми.

Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и ) равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство: События и независимы, следовательно . В этом случае формула произведения событий и
можно записать как .

События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие равное произведению любого числа остальных событий, независимы.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.

.

Простейшие свойства вероятностей

1. ;
   
2. ;
   
3. ;
   
4. ;
   
5. ;
   

   Свойства условных вероятностей
   

6. ;
   
7. ;
   
8. ;
   
9. если , то ;
   
10. ;
    
11. ;
    
12. ;
    

    .
    

    Формула полной вероятности. Формула Байеса
    

    Предположим, что событие может произойти только с одним из несовместных событий . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события – это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.
    

    В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий .
    

    По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим:
    

    .
    

    Полученная формула называется формулой полной вероятности.
    

    Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых () известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем известно, что это событие имело определенные условные вероятности (). Требуется найти вероятности событий , если известно, что событие произошло (вероятности апостериори).
    

    Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события . Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, нужно переоценить вероятности событий .
    

    На основании теоремы о вероятности произведения двух событий:
    

    ,
    

    откуда:
    

    
    

    или
    

    .
    

    Полученная формула носит название формулы Байеса.
    

Смотрите здесь!