Пусть и = u(x) и v= v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. По формуле для дифференциала произведения имеем d(и) = vdи + иdv, откуда иdJ = d(иv) —v du. Интегрируя последнее соотношение, получим:
(произвольная постоянная интегрирования Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл. К интегралам, вычисляемым по частям, относятся, например, интегралы вида: Замечание. Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз. Замечание. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Иногда необходимо повторное интегрирование по частям. Пример 5
= Пример 6
Пример 7
|
здесь включена в слагаемое 
). Это и есть 
, где 
– многочлен (в частности, степенная функция xn), а 
– одна из следующих функций: 
, 
,
, 
, 
, 
, 
, 
. При этом для интегралов вида 
, 
,
, за и принимается многочлен P(x), а для интегралов вида 
,
, 
, 
, 
,
, 
, если 
, то получаем уравнение:
,откуда 
или
– 
= 
– 
+ С.
