Лекция 14.

Схема Пуассона. Поток событий

С увеличением чаще всего используют схему Пуассона. Эта схема является предельным случаем схемы Бернулли, в котором предполагается, что вероятность события не является постоянной, а зависит от числа испытаний таким образом, что величина остается постоянной. В этом случае оценка вероятности того, что событие наступит раз, определяется предельной теоремой Пуассона.

Теорема Пуассона

Теорема: Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие наступит раз, приближенно равна:

,

где .

Доказательство: Пусть даны:

– вероятность наступления события в одном испытании;

– число независимых испытаний. Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли:




.

При достаточно большом и сравнительно небольшом все выражения в скобках, за исключением предпоследнего, можно принять равными единице, т.е.:

.

Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е., поскольку:

,

справедливо равенство:

,

что и требовалось доказать.

Понятие потока событий

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания. Особенностью вероятностной схемы Пуассона является то, что для определения вероятности того или иного числа успехов не требуется знать ни , ни . Все определяется, в конечном счете, числом , которое является ни чем иным, как средним числом успехов. Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий с интенсивностью .

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Интенсивностью потока  называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последствий и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числа и от длительности промежутка времени и не зависит от начала его отсчёта, т.е., если поток событий стационарный, то вероятность есть функция, зависящая только от числа и от длительности .

Свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, чтó происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий. Потоку событий присуще свойство отсутствия последствий, если имеет место взаимная независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления сразу нескольких событий (двух и более) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события. Ординарность потока событий означает, что за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Полиномиальная схема

Схему независимых испытаний Бернулли еще называют биномиальной схемой, поскольку она рассматривает последовательности испытаний с двумя исходами. От нее можно перейти к более общей полиномиальной схеме последовательных независимых испытаний, в каждом из которых возможны исходов с вероятностями , , . В этом случае пространство элементарных исходов содержит таких событий. Вероятность того, что из испытаний закончатся первым исходом, – вторым исходом, …, -ым исходом равна:

.

Все цивилизации мира изучают теорию вероятностей и Вам рекомендуем!