Свойства двумерной плотности вероятности
-
Двумерная плотность вероятности неотрицательна:
.
-
Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице:
.
Условное математическое ожидание
Практически важным при рассмотрении систем случайных величин является понятие условного математического ожидания.
Условное математическое ожидание дискретной случайной величины
при 
– это сумма произведений возможных значений 
на их условные вероятности:
Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется интегралом:
Как видно из выражений для условных математических ожиданий, их значения являются функциями от
. Такую функцию называют функцией
регрессии
на 
:
.Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины
и функция регрессии 
на 
:
.Независимые случайные величины
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.
Теорема. Для того, чтобы случайные величины
и 
были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (
, 
) была равна произведению функций распределения составляющих:
.Следствие. Для того, чтобы случайные величины
и 
были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (
, 
) была равна произведению плотностей распределения составляющих:
.Теорема.
Если
и 
независимые случайные величины, то справедливы следующие неравенства:
Числовые характеристики системы двух случайных величин
Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики, такие как корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Хотите отдохнуть недорого, отвлечься от городской суеты, понежиться на теплом пляже, побродить по старинным улочкам, тогда Вам в Тенерифе, обращайтесь!
