Табличное (непосредственное) – интегрирование с использованием таблицы неопределенных интегралов, основных свойств и тождественных преобразований подынтегральной функции.

Методом подстановки (заменой переменной)
называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.

Теорема: Пусть функция x=j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, и пусть Х-множество значений этой функции. На множестве Х определена функция y=f(x), тогда если на Х функция f(x) имеет первообразную, то на Т справедлива формула:

{Сущность интегрирования методом замены переменной заключается в преобразовании интеграла

в интеграл , который легко вычисляется с помощью основных формул интегрирования

Для нахождения заменяем переменную x новой переменой u и с помощью метода подстановки x=y'(u)du подставив в подинтегральное выражение вместо x и dx их значения через u и du получим

После чего как интеграл относительно новой переменной и будет найден с помощью обратной подстановки u=ψ(x) он приводится к переменной x}

Интегрирование дробей содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

Рациональную дробь (неправильную) с помощью деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби ( теорема Безу)

На основании вышеизложенного интегрирование рациональных дробей сводиться к интегрированию правильных рациональных дробей

Для интегрирования правильной рациональной дроби ее представляют как сумму простейших дробей ( дробей вида где — квадратный трехчлен не имеющий действительных корней n,m – положительные числа.

Метод интегрирования по частям.

Пусть дано равенство. Проинтегрируем обе части равенства:

d(u*v)=udv+vdu

— формула интегрирования по частям

При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является приемлемое разбиение подинтегрального выражения на множители u и dv

В интегралах вида :

, ,, где p(x) — многочлен относительно x полагают u(x)=p(x), а остальные множители за d(v).

Интегрирование тригонометрических функций.

При вычислении интегралов вида и от четной степени синуса и косинуса используются формулы понижения степени

и

При вычислении интегралов вида и от нечетной степени Sin и Cos необходимо отделить от степени один множитель и ввести новую переменную

Cosx=t в первом интеграле и sinx=t – во втором

При вычислении интегралов вида

Применяются формулы

Интегрирование иррациональных функций.

При интегрировании иррациональных выражений вводят новую переменную с показателем равным наименьшему общему кратному показателей корней выражения.

При вычислении интегралов содержащих радикалы (корни) вида

используют тригонометрические подстановки

  в интеграле содержащем

 в интеграле содержащем

 в интеграле содержащем

Объявление: