Лекция 20
Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
Рассмотрим серию независимых испытаний проведенных в условиях схемы Бернулли, в ходе которых появлялось событие
с вероятностью
, одинаковой для всех испытаний.
Необходимо определить закон распределения случайной величины числа появлений события
. Для этого нужно определить возможные значения
и их вероятности. Минимальное значение
равно нулю, что соответствует ситуации, когда в серии
испытаний событие
не появилось; максимальное значение
соответствует «успеху» во всех испытаниях серии и равно
. Очевидно, что случайная величина
числа появлений события
в серии
испытаний принимает значения
. Остается найти соответствующие вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
,
где ,
.
Эта формула является аналитическим выражением искомого закона распределения. Эта формула еще называется биномиальной, так как ее правая часть представляет собой -й член бинома Ньютона:
.
Отсюда сразу видно, что для полученного закона биномиального распределения вероятностей числа появления события при
независимых испытаниях выполняется условие нормировки, т.е. сумма всех вероятностей равна единице:
.
Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в
независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события
в каждом испытании.
Доказательство. Случайная величина распределена по биномиальному закону:
(
),
где .
Величину можно рассматривать, как сумму независимых случайных величин
, где
(
) – число появлений события
в
м испытании. Случайная величина
принимает лишь два значения: 1, если событие
появилось в
м испытании, и 0, если в
м испытании события
не произошло.
Вероятности этих событий и
, а математическое ожидание:
(
).
Следовательно, используя теорему о математическом ожидании суммы, получим:
.
Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в условиях схемы Бернулли совпадает со средним числом появлений события
в данной серии испытаний.
Дисперсия числа появлений события в
независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события
в одном испытании:
.
Доказательство. Пусть – число появлений события
в
независимых испытаниях. Оно равно сумме появлений события
в каждом испытании:
. Так как испытания независимы, то и случайные величины
– независимы, поэтому
.
Но ,
.
Как было показано выше, , а
.
Тогда , а
.
В этом случае, как уже упоминалось ранее, среднее квадратичное отклонение .
Пример. В пяти торговых точках проверяется годовой баланс. Вероятность правильного оформления баланса в каждой точке равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию правильно оформленных балансов.
Решение. Дано: ,
,
.
Тогда
.
Биномиальный закон распределения часть приходится применять в условиях, когда число независимых испытаний велико. Вычисление вероятностей по формуле Бернулли при этом усложняется, поэтому представляет интерес асимптотическое приближение для биномиального закона, справедливое при больших . Возможны два случая:
-
Когда при увеличении числа испытаний математическое ожидание рассматриваемой случайной величины
тоже неограниченно возрастает (случай постоянного
); при этом биномиальное распределение сходится к нормальному закону, который будет рассмотрен позже.
-
Когда при увеличении числа испытаний остается постоянным произведение
, то есть математическое ожидание рассматриваемой случайной величины остается конечным. Это означает, что вероятность события
стремится к нулю. В этом случае биномиальное распределение сходится к распределению Пуассона.
Обращайтесь в независимый центр лицензирования.ООО «Независимый Центр Лицензирования» обладает многолетним успешным опытом в сфере услуг по получению допуска СРО в строительстве. Интересует ,узнавайте.