Лекция 20
Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
Рассмотрим серию независимых 
испытаний проведенных в условиях схемы Бернулли, в ходе которых появлялось событие 
с вероятностью 
, одинаковой для всех испытаний.
Необходимо определить закон распределения случайной величины 
числа появлений события 
. Для этого нужно определить возможные значения 
и их вероятности. Минимальное значение 
равно нулю, что соответствует ситуации, когда в серии 
испытаний событие 
не появилось; максимальное значение 
соответствует «успеху» во всех испытаниях серии и равно 
. Очевидно, что случайная величина
числа появлений события 
в серии 
испытаний принимает значения 
. Остается найти соответствующие вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
,
где 
, 
.
Эта формула является аналитическим выражением искомого закона распределения. Эта формула еще называется биномиальной, так как ее правая часть представляет собой 
-й член бинома Ньютона:
.
Отсюда сразу видно, что для полученного закона биномиального распределения вероятностей числа появления события 
при 
независимых испытаниях выполняется условие нормировки, т.е. сумма всех вероятностей равна единице:
.
Теорема. Математическое ожидание числа появлений события 
в 
независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события 
в каждом испытании.
Доказательство. Случайная величина 
распределена по биномиальному закону:
(
),
где 
.
Величину 
можно рассматривать, как сумму независимых случайных величин 
, где 
(
) – число появлений события 
в 
м испытании. Случайная величина 
принимает лишь два значения: 1, если событие 
появилось в 
м испытании, и 0, если в 
м испытании события
не произошло.
Вероятности этих событий 
и 
, а математическое ожидание: 
(
).
Следовательно, используя теорему о математическом ожидании суммы, получим:
.
Таким образом, математическое ожидание числа появлений события 
в условиях схемы Бернулли совпадает со средним числом появлений события 
в данной серии испытаний.
Дисперсия числа появлений события 
в 
независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события 
в одном испытании: 
.
Доказательство. Пусть 
– число появлений события 
в 
независимых испытаниях. Оно равно сумме появлений события 
в каждом испытании: 
. Так как испытания независимы, то и случайные величины 
– независимы, поэтому 
.
Но 
, 
.
Как было показано выше, 
, а 
.
Тогда 
, а 
.
В этом случае, как уже упоминалось ранее, среднее квадратичное отклонение 
.
Пример. В пяти торговых точках проверяется годовой баланс. Вероятность правильного оформления баланса в каждой точке равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию правильно оформленных балансов.
Решение. Дано: 
, 
, 
.
Тогда 
.
Биномиальный закон распределения часть приходится применять в условиях, когда число независимых испытаний велико. Вычисление вероятностей по формуле Бернулли при этом усложняется, поэтому представляет интерес асимптотическое приближение для биномиального закона, справедливое при больших 
. Возможны два случая:
-
Когда при увеличении числа испытаний математическое ожидание рассматриваемой случайной величины
тоже неограниченно возрастает (случай постоянного 
); при этом биномиальное распределение сходится к нормальному закону, который будет рассмотрен позже.
-
Когда при увеличении числа испытаний остается постоянным произведение
, то есть математическое ожидание рассматриваемой случайной величины остается конечным. Это означает, что вероятность события 
стремится к нулю. В этом случае биномиальное распределение сходится к распределению Пуассона.
Обращайтесь в независимый центр лицензирования.ООО «Независимый Центр Лицензирования» обладает многолетним успешным опытом в сфере услуг по получению допуска СРО в строительстве. Интересует ,узнавайте.
