Дробно-рациональная функция называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени многочлена в знаменателе, и неправильной в противном случае.

Например, дроби , , – правильные, а дроби , , – неправильные.

При интегрировании неправильной дроби следует предварительно перейти к правильной дроби путем выделения целой части.

Алгоритм:

1. Если дробь неправильная — выделить целую часть. Получим интеграл от целой части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильной дроби;
   
2. Если числитель равен дифференциалу знаменателя (или отличается от него постоянным множителем), то использовать замену переменной z=знаменатель;
   
3. Если числитель равен дифференциалу некого многочлена (или отличается от него постоянным множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то использовать замену переменной z=знаменатель;
   
4. В остальных случаях нужно разложить дробь на сумму простейших
   

Пример 1

Вычислить
.

Имеем:

=

=ln|x² –1| + C.

Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрирования правильных дробей.

1. =A ln| x – a |+C

2.

3.

При вычислении интеграла 3 следует различать два основных случая.

а) Квадратный трехчлен является полным квадратом. Тогда интеграл I сводится к уже рассмотренным интегралам в случаях 1 и 2.

б) Квадратный трехчлен не является полным квадратом. Тогда его дополняют до полного квадрата, после чего интеграл I сводится к табличным интегралам.

Пример 2

I =

Сделаем подстановку . Тогда: , и

Пример 3

Сделаем подстановку х– = t. Тогда: х=t+, dх=dt и

+=.

При вычислении интеграла вида можно также воспользоваться тождеством

.

Вычисление интегралов от элементарных дробей

I. Дроби вида .

для a¹1 и .

II. Дроби вида .

1. b= 1
   

 где u=x+p/2, a²=q — p²/4.
Далее ln ( u²+a² )+С.

+C.

1. b> 1.
   

Рассмотрим интегралы вида . Интегрируя по частям, получим

==

==.

Откуда получаем рекуррентное соотношение

, , или окончательно

позволяющее вычислять последовательно интегралы J_n
, последующий по предыдущему
.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Далее И окончательно получим .

Пример 5. Найти неопределённый интеграл: .

Решение.

Пример 6. Найти неопределённый интеграл: .

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простые дроби. Получим:

Сравнивая первую и последнюю дробь, составим систему уравнений, решив которую найдём коэффициенты в разложении дроби на простые. Получим:

Тогда интеграл будет равен:

Пример 7. Найти неопределённый интеграл: .

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простые дроби. Получим:

Сравнивая первую и последнюю дробь, составим систему уравнений, решив которую найдём коэффициенты в разложении дроби на простые. Получим:

Тогда интеграл будет равен:

Объявление: