Лекция 21.

Распределение Пуассона

Рассмотрим второй случай асимптотического приближения биномиального распределения, когда , а – имеет конечное значение. Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром , если эта случайная величина может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле Пуассона, когда :

В биномиальном распределении величина имеет смысл математического ожидания. Проведем вычисления математического ожидания для распределения Пуассона:

Таким образом, в распределении Пуассона величина также имеет смысл математического ожидания.

Проведем вычисления дисперсии для распределения Пуассона:

поскольку

Таким образом, в распределении Пуассона дисперсия также равна .

Геометрическое распределение

Рассмотрим серию независимых испытаний, в ходе которых появлялось событие с вероятностью , одинаковой для всех испытаний. Испытания в каждой серии проводились до появления события и заканчивались, как только событие происходило. Обозначим через число испытаний, которые нужно провести до появления «успеха». Очевидно, что возможными значениями дискретной случайной величины являются натуральные числа . Пусть событие наступило после безуспешных испытаний, т.е. . Вероятность этого события по теореме умножения вероятностей равна .

Полученный закон распределения дискретной случайной величины называют геометрическим, поскольку – формула расчета -го члена геометрической прогрессии, с первым членом и знаменателем (). Несложно убедиться в том, что выполняется условие нормировки:

Случайная величина называется распределенной по закону геометрической прогрессии с параметром , если может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле: , где .