Схема независимых испытаний Бернулли
Серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие имеет одну и ту же вероятность
, не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли. Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеются только два исхода: событие
(успех), вероятность которого
и событие
(неудача), вероятность которого
.
Рассмотрим задачу: в условиях схемы Бернулли необходимо определить вероятность того, что при проведении независимых испытаний, в
испытаниях наступит событие
, если вероятность его наступления в каждом испытании равна
.
Определим вначале вероятность того, что в первых испытаниях событие
наступит, а в остальных
испытаниях не наступит. Вероятность такого события можно получить по формуле вероятности произведения независимых событий
, где
.
Это лишь одна из возможных комбинаций, когда событие произошло только в первых
испытаниях. Для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации. Их число равно числу сочетаний из
элементов по
, т.е.
.
Таким образом, вероятность того, что событие наступит в любых
испытаниях, определяется по формуле Бернулли:
.
Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли
Число наступлений события называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления
любое другое количество раз.
Теорема. Наивероятнейшее число наступлений события в
независимых испытаниях заключено между числами
и
.
Доказательство. По формуле Бернулли при :
.
Следовательно, вероятность будет больше, меньше или равна вероятности
в зависимости от того, какое из трех соотношений будет выполняться:
![]() |
![]() |
![]() |
Если переписать эти соотношения в более простом виде:
|
|
|
То приходим к выводу, что:
, если
;
, если
;
, если
.
Следовательно, вероятность при
возрастает, а при
– убывает. В случае, когда
не является целым числом, для наивероятнейшего числа наступлений события
(обозначим его
) должно выполняться неравенство
, что возможно при
, т.е. при
. В то же время, должно выполняться неравенство
, что возможно при
, т.е. при
. Таким образом,
.
Заметим, что разность между и
равна единице, значит, в большинстве случаев число
единственно. Если
– целое число, то наивероятнейших чисел
два:
и
. В этом случае, поскольку
, то,
а
.
Хотите купить автомобиль? Если ВЫ из Советска, Вам сюда: