Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение s по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр s с заданной надежностью 
.
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение:
или 
.
Преобразуем двойное неравенство 
в равносильное неравенство 
и обозначим d/s=q. Имеем:
(A)
и необходимо найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину 
.
Оказывается, величина 
распределена по закону 
с n–1 степенями свободы. Плотность распределения c имеет вид:
Это распределение не зависит от оцениваемого параметра s, а зависит только от объема выборки n.
Преобразуем неравенство (A) так, чтобы оно приняло вид 
. Вероятность этого неравенства равна заданной вероятности 
, т.е. 
.
Предполагая, что q<1, перепишем (A) в виде:
,
далее, умножим все члены неравенства на 
:
или 
.
Вероятность того, что это неравенство, а также равносильное ему неравенство (A) будет справедливо, равна:
.
Из этого уравнения можно по заданным 
найти 
, используя имеющиеся расчетные таблицы. Вычислив по выборке 
и найдя по таблице 
, получим искомый интервал (A1), покрывающий s с заданной надежностью 
.
Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s=0.8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение s с надежностью 0,95.
Решение. Используя заданные значения 
, по таблице находим значение q=0.32. Искомый доверительный интервал есть:
.
Необходимо сделать замечание. Мы предполагали, что q<1. Если это не так, то мы придем к соотношениям:
.
Следовательно, значение q >1 может быть найдено из уравнения:
Хотите подтянуть английский? Не знаете где найти хорошего репетитора, ищите занятия онлайн? Тогда Вам сюда Отличные преподаватели, занятия в удобное время, дистанционные уроки не отходя от компьютера!
