Эмпирическая функция распределения и ее свойства

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x и через n – общее число наблюдений. Очевидно, относительная частота события X<x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению , где – число вариант, меньших x, n – объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция
определяет вероятность события X<x, тогда как эмпирическая – относительную частоту этого же события.

При росте n относительная частота события X<x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами:

.

Свойства эмпирической функции распределения

Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1].

– неубывающая функция.

Если – наименьшая варианта, то =0 при ,
если – наибольшая варианта, то =1 при .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построим эмпирическую функцию по распределению выборки:

Найдем объем выборки: 12+18+30=60. Наименьшая варианта равна 2, поэтому =0 при x£2. Значение x£6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2<x£6. Аналогично, значения X£10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6<x£10. Так как
x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. таким образом, искомая эмпирическая функция имеет вид:

Вам нужен Вы его найдете! Удобный Вам район, стоимость, здесь Вы точно подберете себе репетитора!