Эмпирическая функция распределения и ее свойства
Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Обозначим через число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x и через n – общее число наблюдений. Очевидно, относительная частота события X<x равна
и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x. Таким образом, по определению
, где
– число вариант, меньших x, n – объем выборки.
В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между этими функциями состоит в том, что теоретическая функция
определяет вероятность события X<x, тогда как эмпирическая – относительную частоту этого же события.
При росте n относительная частота события X<x, т.е. стремится по вероятности к вероятности
этого события. Иными словами:
.
Свойства эмпирической функции распределения
Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1].
– неубывающая функция.
Если – наименьшая варианта, то
=0 при
,
если – наибольшая варианта, то
=1 при
.
Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.
Пример. Построим эмпирическую функцию по распределению выборки:
Варианты |
2 |
6 |
10 |
Частоты |
12 |
18 |
30 |
Найдем объем выборки: 12+18+30=60. Наименьшая варианта равна 2, поэтому =0 при x£2. Значение x£6, т.е.
, наблюдалось 12 раз, следовательно,
=12/60=0,2 при 2<x£6. Аналогично, значения X£10, т.е.
и
наблюдались 12+18=30 раз, поэтому
=30/60 =0,5 при 6<x£10. Так как
x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. таким образом, искомая эмпирическая функция имеет вид:
Вам нужен Вы его найдете! Удобный Вам район, стоимость, здесь Вы точно подберете себе репетитора!