Множественная линейная регрессия

На любой экономический показатель, чаще всего, оказывает влияние не один, а несколько факторов. Например, спрос на некое благо определяется не только ценой данного блага, но и ценами на замещающие и дополняющие блага, доходом потребителей и многими другими факторами. В этом случае рассматривается множественная регрессия:

Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид:

или для индивидуальных наблюдений :

Параметры регрессии могут быть найдены в случае, если . Самым распространенным методом оценки параметров уравнения множественной линейной регрессии также является метод наименьших квадратов.

Нелинейная регрессия

Многие экономические зависимости не являются линейными, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии не может дать положительного результата. Например, при анализе эластичности спроса по цене применяется так называемая логарифмическая модель, при анализе издержек от объема выпуска – полиномиальная (кубическая) модель. Достаточно широко применяются и многие другие модели – в частности, обратная и экспоненциальная модели. Кратко рассмотрим некоторые из моделей нелинейной регрессии.

Логарифмическая модель

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой , где A, b – параметры модели. Эта функция может отражать зависимость спроса Y на благо от его цены X
(в этом случае b<0) или от дохода X (b>0 – функция Энгеля). Прологарифмировав обе части последнего соотношения, получим , замена переменных вида позволяет формально свести уравнение к линейному виду:

По МНК можно рассчитать значения параметров аналогично случаю линейной модели (при этом вместо наблюдений рассматриваются наблюдения ).

Обратная модель

Обратная модель имеет вид .

Заменой эта модель сводится к линейной. Модель применяется, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции. Кроме этого, классическим примером применения модели является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы y.

Степенная модель

Степенная функция вида при m=3 (кубическая функция) в микроэкономике моделирует зависимость общих издержек от объема выпуска; квадратичная функция (m=2) отражает зависимость между объемом выпуска и средними или предельными издержками (или между расходами на рекламу и прибылью). Модель может быть сведена к линейной модели множественной регрессии с помощью замены . Параметры модели ищут с помощью МНК.

Показательная модель

Показательная функция может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прироста во времени. Например, производственная функция Кобба – Дугласа с учетом научно – технического прогресса: