Нормальное распределение
Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:
где – среднее квадратичное отклонение;
– математическое ожидание случайной величины.
Свойства функции Гаусса
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.
Проведем исследование функции:
методами дифференциального исчисления.
-
Очевидно, что функция определена на всей оси
.
-
При всех значениях
функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью
.
-
Ось
служит горизонтальной асимптотой графика, поскольку
. Других асимптот у графика нет.
-
При
функция имеет максимум, равный
.
-
Функция четная: ее график симметричен относительно прямой
.
-
При
график функции имеет точки перегиба.
Изменение величины математического ожидания, т.е. параметра
, ведет к сдвигу кривой вдоль оси
без изменения ее формы. График ведет себя иначе, если изменяется среднее квадратичное отклонение (параметр
): с возрастанием
максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси
; при убывании
нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси
. Но при любых значениях параметров
и
, согласно условию нормировки функции плотности распределения, площадь, ограниченная нормальной кривой и осью
остается равной единице.
Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал
Во многих практических задачах требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках этого интервала:
.
В случае нормального распределения:
сделаем замену переменной:
,
,
.
Тогда:
,
где
,
.
Разобьем полученный интеграл на два:
.
Следовательно, искомая вероятность может быть выражена через веденный ранее стандартный интеграл Лапласа:
.
Даже если Вам лишь 18 не проходите мимо! Уникальная информация о том, как удачно!