Нормальное распределение

Нормальным называется такое распределение случайной величины , плотность вероятности которого описывается функцией Гаусса:

где – среднее квадратичное отклонение;

– математическое ожидание случайной величины.

Свойства функции Гаусса

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.

Проведем исследование функции:

методами дифференциального исчисления.

Очевидно, что функция определена на всей оси .
При всех значениях функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью .
Ось служит горизонтальной асимптотой графика, поскольку . Других асимптот у графика нет.
При функция имеет максимум, равный .
Функция четная: ее график симметричен относительно прямой .
При график функции имеет точки перегиба.

Изменение величины математического ожидания, т.е. параметра , ведет к сдвигу кривой вдоль оси без изменения ее формы. График ведет себя иначе, если изменяется среднее квадратичное отклонение (параметр ): с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси . Но при любых значениях параметров и , согласно условию нормировки функции плотности распределения, площадь, ограниченная нормальной кривой и осью остается равной единице.

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал

Во многих практических задачах требуется определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эта вероятность может быть выражена в виде разности функции распределения вероятности в граничных точках этого интервала:

.

В случае нормального распределения:

сделаем замену переменной: , , .

Тогда:

,

где , .

Разобьем полученный интеграл на два:

.

Следовательно, искомая вероятность может быть выражена через веденный ранее стандартный интеграл Лапласа:

.