Совместная функция распределения двумерной случайной величины
Пусть 
– пара действительных чисел. Обозначим вероятность события 
, состоящего в том, что 
примет значение меньшее 
, и при этом 
примет значение меньшее 
, обозначим через 
.
Если 
и 
будут меняться, то, в общем случае, будет изменяться и 
, т.е. 
есть функция от 
и 
.
Функция 
, определяющая для каждой пары чисел 
вероятность того, что 
примет значение меньшее 
, и при этом 
примет значение меньшее 
, называется совместной функцией распределения двумерной случайной величины (безразлично, дискретной или непрерывной):
=
.
Геометрически это равенство можно истолковать так: 
– это вероятность того, что случайная точка (
) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (
), расположенный левее и ниже этой вершины.
Свойства совместной функции распределения двумерной случайной величины
1. Значения
совместной функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:
.
2. 
– неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.
, если 
;
, если 
.
3. Совместная функция распределения имеет следующие предельные значения:
;
;
;
.
4. При 
совместная функция распределения системы становится функцией распределения составляющей 
:
;
при 
совместная функция распределения системы становится функцией распределения составляющей 
:
.
Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
Непрерывную двумерную случайную величину, которая описывается непрерывной совместной
функцией распределения 
, имеющей непрерывные (за исключением, быть может, конечного числа точек), частные производные второго порядка, можно задать, пользуясь плотностью распределения.
Плотность совместного распределения вероятностей 
непрерывной двумерной случайной величины (
, 
) – это вторая смешанная частная производная от функции распределения 
:
.
Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.
Зная плотность совместного распределения 
, можно найти функцию распределения 
по формуле:
что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины (
, 
).
Плотность совместного распределения вероятностей 
можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (с вершиной в точке 
и сторонами 
и 
) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны этого прямоугольника стремятся к нулю.
Действительно, вероятность попадания случайной точки (
, 
) в прямоугольник с вершинами 
, 
, 
и 
равна:
Применив к правой части теорему Лагранжа, получим:
где 
; 
. Отсюда:
.
Приняв во внимание, что 
– площадь рассматриваемого прямоугольника, можно сделать вывод, что 
– это отношение вероятности попадания случайной точки в рассматриваемый прямоугольник к площади этого прямоугольника. Если перейти к пределу при 
и 
, то 
и 
и, следовательно, 
. Аналогично вероятности для дискретной случайной величины, плотность распределения вероятности для непрерывных величин можно представить в виде:
.
Хотите недорого и быстро ? Вы по адресу! Огромный выбор, цены от эконом до премиум класса, Вы точно выберете то, что по душе именно Вам!
